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저번에 이어 삼각함수 공식을 외울 차례다. 사실 순서가 뒤바뀐것일수도 있지만... 1. 각, 일반각 우리가 알고있는 각은 뭘까요?평소에 각으로 쓰이는 단위는 도(°) 입니다. 우리가 각으로써 많이 접하는 단위는 도지만, 수학에선 새로운 각의 개념이 필요했습니다.각은 한 직선을 시초선으로 놓고서, 한 직선이 시초선과 이루는 기울기 정도를 각이라고 생각하시면 됩니다. 물론 정확한 정의는, 한 점에서 그은 두 직선으로 이루어진 도형이지만... 이해는 왠지 위에가 더 빠를거라 생각합니다. 그리고 그 시초선과 기우는 정도를 이루는 직선을 '동경' 이라고 합니다. 보통 시초선은 좌표평면에서 1사분면과 4사분면의 경계인 x축을 시초선이라고 놓습니다. 우리가 배우는 삼각함수도 좌표평면상에서 배우는것이기 때문에 앞으로 시초선은 1사분면의 x축이라고 생각하시면 됩니다. 그리고 동경이 반시계방향으로 돌때, 양의 값을 갖으면서 각을 이룬다고 하며 시계방향일땐 음의 값을 갖으면서 각을 이룬다고 합니다. θ 는 저번 파트에서도 언급했었지만, 방정식에서 미지수를 x로 놓는것처럼 각의 미지수를 대게 θ로 놓습니다.그렇다면 여지껏 정의를 통해서 θ와 -θ의 차이를 알수 있겠죠.  지금 이 그림은 y=x 를 그린 그래프입니다. 1사분면을 지나는 y=x 직선이 x축과 이루는 각은 몇도일까요? 저번에 배운 tanθ 의 정의를 되새겨보면, 직선의 기울기가 Δy/Δx (Δ는 델타라고 읽으며, 증가량을 뜻합니다) 인건 다 알고있을텐데요. 직선의 기울기의 정의와 우리가 배운 탄젠트의 정의... 비슷하죠? 따라서 y=x 그래프는, y=tanθx 로 나타낼수 있습니다. 그런데 tanθ가 1이므로, y=x 그래프가 x축과 이루는 양의 각의 크기는 45도임을 알수있습니다 (tanθ 특수각에서 45도는 1) 그러고보니 저번 파트에서 삼각함수의 특수각을 알려주지 않은것 같은데... 이 파트를 빌어 특수각을 언급하겠습니다. *특수각
 칭되고있죠. 왜 이런 결과가 나오는지는 정삼각형을 통해서 알수있습니다. 정삼각형같진 않지만 변 길이가 2인 정삼각형이 있다고 합시다. 그리고 맨위부터 반시계방향 순서대로 ABC라고 두겠습니다. (까먹고 안썼네요) 그럼 각A에서 변BC에 수선을 내리면, 변BC는 이등분이 되고, 각A의 각은 이등분이 되는데, 정삼각형의 내각은 각각 60도인점에서 새로 만들어진 직각삼각형의 각이 각각 몇도인지를 알수 있습니다.  AC의 길이는 변BC길이의 두배죠. 왜냐면, 위에서 변BC가 수직이등분이 되니까요. (정삼각형) 여기서 피타고라스 정리를 이용하면, 4=1+AB² AB=√3 따라서, 우리는 30도,60도,90도의 대변의 길이의 비를 얻어냈습니다. - 1:√3:2 이와 같은 방법으로, 정사각형에서 대각선을 그어 잘라내면, 45,45,90도의 대변의 길이의 비를 얻어낼수 있습니다 (1:1:√2) 이 비를 이용해서 삼각함수의 특수각의 값을 유도해낼수 있습니다. 사인과 코사인의 값이 대칭되는건, 아래 그림과 함께 보시면 이해가 빠를겁니다. sinA = cosC ... 각A는 30도, 각C는 60도죠. 위의 삼각함수 특수값 표를 통해서 두 값이 같는지만 확인하시면 됩니다. 당연히 같죠. 왜인지는 정의를 곱씹어보시면 됩니다. (A=30도) sin30  그렇다면 0도와 90도는 어떨까요. 직접 θ값을 0에 한없이 근사시키면 높이도 0에 한없이 가까워집니다. 따라서, θ값이 0이 되버리면, 높이가 0이 되어 sin0=0 이란 값을 얻습니다. 하지만 cos0=1 이 되죠. 왜냐면, 빗변이 밑변이랑 일치하기 때문에 그 값이 91312709101 등등의 불규칙한 값이어도 분모와 분자가 같으니 1로 약분이 되어 cos0=1 이 되는거죠. tan0=0 이 됩니다. 왜냐면 탄젠트의 정의는 밑변분의 높이인데, 분모는 알수없지만 분자가 0이 되버리므로 그 값은 0이 되버립니다. 또, 90도에 한없이 근사시키면 빗변과 높이는 y축에 한없이 가까워지며, 밑변은 0에 가까워집니다. 따라서 90도가 되면 빗변과 높이와 y축은 일치하고, 밑변은 0이 됩니다. sin90=1 이란 값을 얻는데, 빗변과 높이가 서로 같으므로 약분되어 1이 됩니다. cos90=0 이란 값을 얻는데, 밑변이 0이 되므로, 분자가 0이 되어 0이 되는거죠. 여기서 tan90은 정의할수 없는 신기한 성질을 발견해낼수 있습니다. 밑변이 0이 되는데, 밑변을 분모로 가지는 tan는 분모가 0이 되버려 값을 정의할수 없기 때문이죠. 이제 다시 본론으로 넘어오면  그렇다면, -θ는 얼마일까요? 일단, θ를 예각으로 간주하면 -θ는 동경이 4사분면에 있을때인데, 4사분면엔 동경과 일치할 y=x 그래프가 없습니다. 따라서 3사분면까지 넘어가서 동경이 3사분면에 있는 y=x 그래프와 일치할때, y축과 동경이 이루는 각의 크기는 -135도입니다. (왜냐하면, 일단 한 사분면을 넘겼으므로 -90, 3사분면의 y축을 시초선으로 놓고 시계방향으로 동경을 움직이다가 3사분면에 있는 y=x 그래프와 일치할때 y축과 동경이 이루는 각의 크기는 45도이므로) 한바퀴는 360도인건 알고있죠? 이걸 이용해서 3사분면의 y=x 그래프가 양의 방향으로 움직인 동경과 일치할때의 각이 몇도인지를 알아낼수 있습니다. 360-135=225 그리고 실제로, 양의 방향으로 움직였을때 3사분면의 y=x 그래프가 일치하려면 1,2사분면을 건너뛰어야하는데 1,2사분면을 건너뛰는덴 180도가, 그리고 2사분면의 x축과 3사분면의 y=x 그래프가 이루는 각의 크기는 45도이므로 225도가 맞습니다. 말이 너무 많아 헷갈리셨을수도 있지만, 여기까진 자세한 설명이 필요없이도 직관적으로 이해할수 있으리라 믿습니다.  그런데, 시초선과 동경이 일치할때는 어떨까요? 시초선과 동경이 일치할때는 동경이 한바퀴를 돌았을때이며, 이때 이루는 각은 360도입니다. 그렇다면, 지금 x축과 y=x가 이루는 각이 360+45, 720+45, 1080+45, 1440+45... 등등으로 표현할수 있습니다. (360도는 한바퀴) 그래서 우리는 시초선과 동경이 이루는 각을 표시할땐 항상 360n + α 로 표시해야합니다. (n은 정수, 0≤α<360) 왜냐하면, 우리가 보고 있는 시초선과 동경이 이루는 각이 동경이 몇바퀴 돌아서 그 자리에 멈추게 되었는지는 아무도 모르니까요. 이렇게 표기하는 각을 '일반각' 이라고 합니다. 2. 호도법을 알아봅시다.  원의 둘레는 2∏r 인데, 1라디안일때의 호의 길이 l의 값을 2∏만큼 곱한것이므로, 2∏rad은 360도가 됩니다. 여기서부터, 호도와 육십분법의 계산이 나오는데, ∏rad = 180도가 됩니다. 호도법에서는 rad을 생략하는게 일반적입니다. 그런데 rad을 생략하면 ∏=180도가 되는데, 여기서 사람들은 의문을 품게 됩니다. ∏=3.14159265358979... = 180도? 라는 등식을 떠올리죠. 우리가 아는 ∏는 원주율을 말하는것이며, ∏=180도 일때는, ∏에게 rad이 생략된것입니다. 따라서, 180도=3.14159265358979... ? 라는 등식은 떠올리지 않도록 합시다. 저 호도법으로부터, 90도는 ∏/2, 60도는 ∏/3, 45도는 ∏/4, 30도는 ∏/6 임을 알수 있습니다. 그리고 이 호도법으로부터, 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 알아내는 공식을 유도할수 있습니다. l : θrad = 2∏r : 2∏rad 으로부터, 2∏r θrad = 2∏rad*l 2∏r θrad / 2∏ rad = l 2∏ * 1rad 으로 약분하면, rθ=l 호의 길이 l=rθ (ex: 반지름이 1이고 θ가 45도일때의 호의 길이는 1*45도=l, 45도는 ∏/4 이므로, l=∏/4) ※여기서 θ는 호도법으로 바꿔 계산합니다. 이와 같은 방법으로, S : θrad = ∏r² : 2∏rad 로부터, ∏r² * θrad = S * 2∏rad S= ∏r² * θrad / 2∏rad ∏ * 1rad 으로 약분하면, S=1/2 * r²θ 그리고 l=rθ 로부터, S=1/2 * rl 이란 식을 유도할수 있습니다. 3. 삼각함수의 영역 삼각함수값의 계산에서 가장 중요한 공식중 하나입니다.  x축의 양의 방향과 1사분면에 있는 반지름이 이루는 각을 세타라고 해주세요. 1사분면에선 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형의 모든 변의 길이가 양수입니다. 따라서, sinθ, cosθ, tanθ 값이 모두 양수인걸 알수있죠. 2사분면에서는 반지름은 양수, 높이는 양수, 밑변은 음수입니다. (2사분면 x축이 밑변) 따라서, sinθ = 높이(+)/빗변(+) 으로써 양수값을 갖지만 cosθ= 밑변(-)/빗변(+) , tanθ= 높이(+)/밑변(-) 로써 음수값을 갖습니다. 3사분면에서는 반지름을 제외하고 모두 음수입니다. sinθ=높이(-)/빗변(+) , cosθ=밑변(-)/빗변(+), tanθ=높이(-)/밑변(-)... 따라서 3사분면은 탄젠트만 양수입니다. 4사분면에서는 높이만 음수입니다. sinθ=높이(-)/빗변(+), cosθ=밑변(+)/빗변(+), tanθ=높이(-)/밑변(+)... 따라서 4사분면은 코사인만 양수입니다. 이 결과를 종합해보면 다음과 같은 결과가 나옵니다. 1사분면에선 모두(all)가 양수값을 가지고, 2사분면에선 사인(sin)만 양수값을 가지며, 3사분면에선 탄젠트(tan)만 양수값을 가지고, 4사분면에선 코사인(cos)만 양수값을 갖습니다.  출처 : http://blog.naver.com/dlgksqls92?Redirect=Log&logNo=50035341059 |
 복습하는 차원에서 삼각비의 정의를 알아봅시다. x 와 r 이 이루는 각을 θ(세타) 라고 합시다. (모르고 그림에서 빼먹었음...) sinθ 의 정의는 높이/빗변 이다. (y/r) [사인] cosθ 의 정의는 밑변/빗변 이며 (x/r) [코사인] tanθ 의 정의는 높이/밑변 이다. (y/x) [탄젠트] 이게 삼각비의 정의입니다.  (단위원은 반지름의 길이가 1인 원) (단위란 말은 대게 1을 의미함. 단위행렬도 실수에서의 1과 비슷한 역할을 함) 이제 좌표평면상에서, 단위원을 그린 다음에 반지름 r에서 x에 수선을 내린다. 그럼 빗변이 r인 직각삼각형이 생기는데, 여기서도 x랑 r이 이루는 각을 θ 라고 합시다. (또 빼먹었다..) 이 그림을 보고 sinθ 가 뭐분의 뭐인지 알아야합니다. 뭔지 모르겠다면, 위로 올라가서 삼각비 복습을 하고 오시길... 1. 삼각함수의 공식을 쉽게 외우기 위한 기초적인 삼각함수 공식. tanθ = sinθ/cosθ sin²θ+cos²θ=1 (1) tanθ=sinθ/cosθ 증명하기. 위에서 tanθ 의 정의를 다시 되새겨봅시다. 밑변분의 높이다. 즉, 저 위 단위원 그림에서는 y/x 다. sinθ 는 y/r 이며, cosθ 는 x/r 다. 뭔가 보이나요? y/x 의 분자랑 분모를 r로 나눠줍니다. (분모와 분자를 똑같이 변화시키는것이기 때문에 값에는 변화가 없습니다.) 그럼 y/r/x/r 이 됩니다. 어디선가 보이던게 있죠? sinθ=y/r, cosθ=x/r 그러므로 위 식은 sinθ/cosθ 가 됩니다. (2) sin²θ+cos²θ=1 증명하기. 이제 빨리빨리 넘어갑니다. 따라오실수 있겠죠? sinθ=y/r, cosθ=x/r. sin²θ=y²/r² cos²θ=x²/r² 이제 두 식을 더합니다. A : x²+y²/r² 그런데, 위 단위원을 보면... r이 빗변인 직각삼각형이 보이죠? 피타고라스 정리를 이용하면, x²+y²=r² 이란 식이 나옵니다. 이 식을 A식에 대입하면 r²/r² = 1 그러므로 sin²θ+cos²θ=1 이라는 식이 유도됩니다. 이정도는 증명과정을 이해하시면 충분히 쉽게 외울수 있습니다. 그리고 sin²θ+cos²θ=1 으로부터 새로운 식을 얻어낼수 있습니다. cos²θ=1-sin²θ sin²θ=1-cos²θ (이항) 식을 간단히 하는데 많이 쓰입니다. 2. 삼각함수의 역수랑 새로운 삼각함수 공식 (1) 역수 cosecθ =1/sinθ [코시컨트] (줄여서 csc 라고 쓰기도 합니다) secθ =1/cosθ [시컨트] cotθ =1/tanθ=cosθ/sinθ [코탄젠트] 못외우시는 분들이 꽤 많은지 이걸 쉽게 외우는 방법이 있더라구요. { 코가 있으면 가만히, 코가 없으면 코를 붙인다. } 이걸 써먹으려면 코떼고 코붙일때 sec 라는 함수에 붙이고 떼는걸 외워야겠죠? ! arcsin 이랑 cosecθ 랑 헷갈리지 맙시다. arcsin은 sin^-1 로써, 사인의 역함수입니다. cosecθ 는 정의 그대로 역수일뿐입니다. 역함수와 역수를 혼동하셔서 arcsin 이랑 cosecθ 를 헷갈리는 일이 없도록... (2) 새로운 삼각함수 공식 삼각함수의 공식은 sin²θ+cos²θ=1 로 부터 유도됩니다. 1+cot²θ=csc²θ , 1+tan²θ=sec²θ 1+cot²θ=csc²θ - sin²θ+cos²θ=1 의 양변을 sin²θ 으로 나누면 저 식이 유도됩니다. 1+tan²θ=sec²θ - sin²θ+cos²θ=1 의 양변을 cos²θ 으로 나누면 저 식이 유도됩니다. 3. 사인법칙과 제1코사인법칙, 제2코사인법칙, 헤론의 공식, 삼각형의 넓이 공식 이 공식들은 증명하지 않겠다. 증명하는데 말이 길어지기 때문... 궁금하시다면 직접 네이버에 '사인법칙 증명' 을 쳐보시길. (1) 사인법칙 삼각형 (직각삼각형이 아니어도 됨) ABC가 있다. 각A의 대변을 a라고 하고, 각B의 대변을 b, 각C의 대변을 c 라고 두고, 삼각형에 외접하는 외접원의 반지름을 R이라고 하면 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R 이란 등식이 성립한다. |쉽게 외우는 방법| - 삼각형 ABC가 있을때 사인θ분의 각θ의 대변은 반지름의 두배와 같다. 로 외우시면 됩니다. (2) 제1코사인법칙 마찬가지로, 삼각형 ABC가 있을때 (직각삼각형이 아니어도 됨) 각A의 대변을 a, 각B의 대변 b, 각C의 대변 c 라고 할때... a=b(cosC)+c(cosB) 가 성립한다. - 위와 같은 조건일때, 알고싶은 대변을 하나 써준다. 그리고 남은 두 대변을 우변에 써주고 더하기로 연결한다. 그리고 각각에게 cos(다른 대변의 대각) 을 곱해주면 된다. ex) b를 알고싶다. 그럼 a와 c를 우변에 써준다 b=a+c (덧셈으로 연결) b=a(cosC)+c(cosA) (각각에게 서로 다른 대변의 대각에 코사인을 씌우고 곱해준다) 그럼 서로 대변과 대각끼리 대칭이 된다. (3) 제2코사인법칙 위와 조건은 동일하다. a²=b²+c²-2bc(cosA) -위와 같은 조건일때, 한변의 제곱은 다른 두변의 제곱을 더한 뒤에 다른 두변의 곱과 한변의 대각에 코사인을 씌운 값의 곱을 뺀다. 말이 너무 길어서 저걸 외우냐고 물으실수도 있겠지만, 규칙을 찾으면 됩니다. 1²=2²+3²-2*2*3(cos1) 그리고 이 식은 이렇게 정리가 가능합니다. cosA=b²+c²-a²/2bc (4) 헤론의 공식 (삼각비의 넓이를 쉽게 구하는 공식) 위와 조건은 동일하지만, 삼각비는 들어가지 않습니다. s= a+b+c/2 일때, 삼각형의 넓이는 √s(s-a)(s-b)(s-c) -루트를 씌우고 a+b+c/2 값을 구하고 그 값을 s라고 둔 다음, s에서 각 변을 하나씩 빼고 모두 곱합니다. 그리고 그 값에 또 s를 곱합니다. 이제 정리만 해주면 끝납니다. (삼각형의 변이 3,4,5 일때의 넓이를 헤론의 공식으로 구해보자. s=6. √6(6-3)(6-4)(6-5) 곱하기 전에 정리를 해주고 곱하면... √6*3*2*1 √36=6 실제로, 저 변의 순서쌍은 피타고라스 순서쌍이기 때문에 밑변=3 or 4 높이=4 or 3 둘을 곱하면 12. 그리고 2로 나눠주면 6. 삼각형의 넓이를 구할때 꼭 직각삼각형만 나오는건 아니므로, 헤론의 공식을 적절히 써먹으면 아주 유용하다) (5) 삼각형의 넓이 공식 1/2(bc{cosA}) 복잡해보이므로... 1 ㅡ bc * cosA = S (넓이) 2 bc대신 ac 면 cosB가 들어간다. 이제 규칙을 찾으셨을거라 믿는다. 출처 : http://blog.naver.com/dlgksqls92?Redirect=Log&logNo=50035341059 |
